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title: "完全背包"
description: "状态转移方程不好推导，可以看yxc的视频：链接"
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状态转移方程不好推导，可以看yxc的视频：[链接](https://www.acwing.com/video/945/)

## 问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 v~~i~~，价值是 w~~i~~。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v~~i~~,w~~i~~，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<v~~i~~,w~~i~~≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

## 朴素版本-Code

```cpp
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[1010][1010];

int main()
{
    int n, m, w[1010], v[1010];
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(v[i]<=j) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}
```

## 空间优化-Code

```cpp
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[1010];

int main()
{
    int n, m, w[1010], v[1010];
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    cout << f[m];
    return 0;
}
```

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